Ein Vektorfeld F des euklidischen Raumes Rⁿ ist eine glatte Funktion von einer offenen Menge U ⊆ Rⁿ nach Rⁿ. An jedem Punkt der Menge U wird somit ein "Pfeil angebracht", der sich nicht sprunghaft ändert (die Glattheit von F heißt, dass F unendlich häufig stetig partiell abgeleitet werden kann).

Allgemeiner werden Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten definiert: Ein Vektorfeld ist ein glatter Schnitt in dem Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit. Das heißt, das Vektorfeld sieht auf jeder Karte so aus wie ein Vektorfeld des Rⁿ.

Obwohl die betrachtete Mannigfaltigkeit meist der zweidimensionale oder dreidimensionale euklidische Raum ist (wo der Tangentialraum überall mit diesem euklidischen Raum übereinstimmt), sind auch andere Mannigfaltigkeiten nützlich: Um die großräumige Luftbewegungen auf der Erde zu beschreiben, benutzt man Vektorfelder auf einer Kugel (einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit), die Raumzeit ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit, und Phasenräume komplexe physikalischer Systeme werden häufig durch hochdimensionale Mannigfaltigkeiten beschrieben, deren Vektorfelder angeben, wie sich das System mit der Zeit verändert.

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.

Wichtige Operationen in dem Zusammenhang mit Vektorfeldern sind

• der Gradient eines Skalarfeldes, der ein Vektorfeld ist,
• die Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes, die in gewissem Sinne Ableitungen sind.

Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik:
Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.

Siehe auch: Erdschwerefeld, Potential, Potentialtheorie.